数学 on 合荒小站

我算出了数学期望，却没有算过自己……

Fri, 10 Jul 2026 15:30:00 +0800

这篇文章写到后面有点左右脑互搏了，但是也蛮有意思的……

eg1: 数学多选

先来看这个例子：

一道高中数学多选题（6分，全选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分）：

你现在已经确定了A是正确选项，B是错误选项，C、D一点点思路你都没有，那么你会选什么呢？

如果你算一下数学期望，你会发现下面这样的规律：

根据 II 卷的规律，我们假定一张试卷上三个多选题：50%几率出现2道三选、1道双选；50%几率出现2道双选、1道三选。

那么单选 A 的数学期望： E(A)=2.5分；

双选 AC 或者 AD 的数学期望： E(AC&AD)=3.5分；

All in ACD 的数学期望： E(ACD)=3分。

从理论上来看最值得的选择是双选。

单选和双选的期望之间，高达1分，虽有25%的概率一分不得，但你计算下会发现你承担的只是0.75分的风险，却有冲击4分甚至6分的机遇。

风险低，回报大——这的确是一场非常优质的“投资”。

可是如果对于我来说，我还是会单选 A ，为了守住已经拥有的2.5分，我放弃了争取更高分数的机会。

eg2: 生物不定项选择

但是，来看下面这个例子：

一道高中生物不定项选择题（3分，全选对得3分，部分选对得1分，选错不得分）：

你现在已经确定了A是正确选项，B是错误选项，C、D一点点思路你都没有，那么你又会选什么呢？

如果你再算一下数学期望，你会发现下面这样的规律：

我们假定一张试卷上五道不定项选择题：单选概率10%、双选概率50%、三选概率40%。

那么我们得到单选 A 的数学期望：E(A)=1.2分；

双选 AC 或者 AD 的数学期望：E(AC&AD)=1.15分；

All in ACD 的数学期望：E(ACD)=1.2分。

从理论上来看选 A 的价值最高，风险最低，无论怎么看双选的价值都太低了……

单选和双选的期望之间，不过0.05分，虽然有35%的概率一分不得，但你计算下会发现你承担的只是0.55分的风险，却有冲击3分的机遇。

同样，这是一场风险低，回报大，看似有点亏但又无限吸引你去“投资”的产品。

这样于我而言，我这时候大概率会选双选。

同样是两款“投资产品”，他们之间有什么不同吗？为什么一个产品我趋于保守，另一个产品我却趋于激进呢？

我们首先害怕的不是没有，而是失去

我后来发现，真正让我做出不同选择的，似乎并不是数学期望本身。

数学题里，当我决定只选 A 的那一刻，那保底的分数仿佛已经属于我了。明明卷子还没交，答案也还没公布，可我的大脑已经提前把那几分划进了自己的账户里。

于是，当我考虑要不要去赌 AC、AD 的时候，我感受到的就不再是“有机会获得更多分数”，而是“有可能把已经到手的分数赔进去”。

这个损失还很大：数学题一旦选错，我损失的是起步是3分，这种感觉是我本来应得的3分让我这不懂得投资的脑子给活生生赔了。

而生物题不一样，我选错我损失的极有可能损失的是1分，极小概率是3分。

选 A 能拿到的那 1 分实在太少了，少到我甚至感觉不到自己真正拥有过它。于是当我面对双选的时候，我看到的更多是获得 3 分的可能，而不是失去 1 分的风险。

同样是选择，同样是在风险与收益之间权衡，可当“已经拥有”的东西发生变化时，我对风险的态度也随之改变了。

拥有得越多，越怕失去；拥有得越少，越敢放手一搏。

风险与机遇的博弈，本质是对自己的博弈

回过头看，我自诩是一个理性的人，可是在这场博弈中，我的感性无时无在驱动着我的理性，甚至陷我于矛盾之中。

我曾经以为，只要把期望算对，选择就会自动变得正确。可这两道题让我看清了一件事：分数是可以算的，未来算不出来。

我能精确到小数点后一位地告诉你选 AC 比选 A 多赚多少，却算不出自己在"已经拥有 2.5 分"和"还没拥有 1 分"面前，会露出两张完全不同的脸。我能推演出概率如何分布，却推演不出那份莫名其妙冒出来的、对失去的恐惧，是从哪一刻开始悄悄接管了我的选择。

数学期望是一把很诚实的尺子，它不会骗人，它只是不“懂人性”。它算不出我对"到手的东西"有多少眷恋，也算不出我对"还没到手的东西"有多敢舍得。而恰恰是这些算不出来的部分，才是最后替我按下选项的那只手。

期望告诉我们收益，而风险提醒我们代价——我可以总结：理性选择的第一要素是期望，第二要素是风险

而往往很多时候，真正推动我们做出选择的，反而是后者——风险。

风险与机遇的博弈，说到底，博弈的从来不是分数，而是我们自己面对"得到"与"失去"时，那颗到底能承受多少的心。

所以这篇文章写到最后，我好像没有得到一个关于做题的答案，反而得到了一个关于自己的提醒：我只能尽可能不让自己陷入这种境地……

这类题我可能得算一辈子……但我真的不想再遇到了

贝叶斯、1000次模拟：彻底搞懂三门问题

Sat, 18 Apr 2026 00:00:00 +0000

这是个很出名的问题：

假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：

“你想选择二号门吗？”

转换你的选择对你来说是一种优势吗？

从直觉上来看，几乎所有人都会觉得最后都是 $1/2$ 的概率，没有区别，实则不然。

正好我们数学学到全概率和贝叶斯那块的时候，我们数学老师出的这个问题，用全概率和贝叶斯来解答。

用概率解决问题

设事件 A = 汽车在 1 号门，事件 B = 汽车在 2 号门，事件 C = 汽车在 3 号门，则：

$$ P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3} $$

设事件 D = 主持人打开了 2 号门。
事件 D 的全概率：

$$ P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C) $$

$$ =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}+0+\frac{1}{3} =\frac{1}{2} $$

贝叶斯：

$$ P(A|D)=\frac{P(D|A)P(A)}{P(D)} =\frac{1}{3} $$

$$ P(C|D)=\frac{P(D|C)P(C)}{P(D)} =\frac{2}{3} $$

结论：

不换：$1/3$ 概率
换：$2/3$ 概率

用频率估计概率

虽然用全概率和贝叶斯推导出了换门的概率更大，但感觉还是有些反常识。

接下来模拟 1000 次来看一下实际情况，用频率来估计概率。

用 Python 编写一个小程序：

第一步：定义 values=[0,0,1]

第二步：随机在三个门中选择一个作为初始选择。

第三步：主持人打开剩余门中的一个山羊门。

第四步：记录坚持选择和转换选择的结果。

第五步：重复 1000 次，然后计算两种策略的胜率。

import random

q_results = []
v_results = []

for i in range(1000):

    # 定义三个门，其中1代表汽车，0代表山羊
    values = [0, 0, 1]
    random.shuffle(values)

    containers = {
        "A": values[0],
        "B": values[1],
        "C": values[2]
    }

    # 随机选择一扇门
    Q_name = random.choice(["A", "B", "C"])
    Q_value = containers[Q_name]

    # 找到剩余的两个门
    remaining = {}

    for name, val in containers.items():
        if name != Q_name:
            remaining[name] = val

    remaining_names = list(remaining.keys())

    # 主持人打开一扇山羊门
    zero_containers = []

    for name in remaining_names:
        if remaining[name] == 0:
            zero_containers.append(name)

    N_name = random.choice(zero_containers)

    # 剩下的门就是转换后的选择
    for name in remaining_names:
        if name != N_name:
            V_value = remaining[name]

    # 记录结果
    q_results.append(Q_value)
    v_results.append(V_value)

    Q_total = sum(q_results)
    V_total = sum(v_results)

    print(f"坚持选择赢了 {Q_total} 次，转换选择赢了 {V_total} 次")

输出结果：

选择策略	命中概率 (理论值)	模拟命中次数 (n=1000)	实际概率
坚持初始选择 (Q)	$1/3 \approx 33.3%$	317	31.7 %
转换选择 (V)	$2/3 \approx 66.7%$	683	68.3 %

为什么会有直觉上的错误

我们主要忽视了一点：

主持人并不是随机开门，而是知道答案后主动排除错误选项。

当你选定一扇门后，你手里的概率只有：

$$ \frac{1}{3} $$

而剩余两扇门整体拥有：

$$ \frac{2}{3} $$

的概率。

主持人帮你剔除掉剩下的门中那个错误的，相当于把原本属于剩余两扇门的 $2/3$ 概率集中到了最后那一扇门上。

所以，换门本质上是：

用自己手里的 $1/3$，换取剩余区域中的 $2/3$。

这个其实很不好理解，大部分网上博主也是这种讲述方法。

相比之下，用贝叶斯公式进行计算，会更加严谨。

翻车现场

这个问题毕竟只是概率问题。

当模拟次数少的时候，结果有时候很难体现理论概率。

我们数学老师还做了一个现场版的演示：

他事先准备了三个小盒子，里面分别装着 1 毛硬币、1 毛硬币、5 毛硬币。

然后我们选择一个盒子，再决定是否交换。

结果最后没有换，反而中奖了……

这也说明了：

概率描述的是长期规律，而一次实验的结果仍然具有随机性。